Le rayon de convergence peut être considéré comme un ensemble de valeurs dans la variable indépendante d`une série de puissances au-dessus de laquelle la série se rapproche d`une limite finie. Pour la variable indépendante x d`une série de puissance convergente qui se développe autour de la valeur un, le rayon de convergence R est mathématiquement écrit comme R lt; | X-a | ou un groupe - R lt; X lt; a + R. Vous pouvez choisir parmi plusieurs tests différents pour la convergence en fonction de la nature (n-dépendance) de la série en question, y compris le test du rapport.
Choses que vous devez
- Crayon
- Papier
Notez la série dans la notation de sommation. Pour ce faire, dessiner un grec symbole sigma du capital et écrire "n = 1" directement en dessous. Dessinez le symbole de l`infini au-dessus de l`sigma. Maintenant, écrire de l`équation (x-1) ^ (n) / (3n) directement à la droite de la sigma. Ceci commence le problème en identifiant la série de puissance dont le rayon de convergence que vous serez trouver.
Écrire l`équation de la limite lorsque n tend vers l`infini de la valeur absolue du rapport de la (n + 1) ième terme pour la nième terme de la série. Pour ce faire, écrivez "L = lim" et "n-gt; l`infini" sous "lim." Ecrire la valeur absolue du rapport directement au droit de "lim." Vous disposez maintenant d`une deuxième ligne de votre problème qui ressemble à ceci: L = lim | [(x-1) ^ (n + 1) / (3 (n + 1))] [3n / (x-1) ^ ( n)] | (Quand n tend vers l`infini). Annuler vos termes tels et factoriser le coefficient, ce qui réduit la limite de L = | x-1 | lim | (n / (n + 1)) | (Quand n tend vers l`infini).
Déterminer la limite. Évaluer trois ou quatre valeurs de n pour voir quelle valeur se rapproche de l`équation. Pour n = 10, vous avez L = | (x-1) (10/11) |. Pour n = 100, vous avez L = | (x-1) (100/101) |. Pour L = 1000, vous avez L = | (x-1) (1000/1001) |. A partir de ces trois évaluations, vous voyez que le (n / (n + 1) partie de la relation est proche de la valeur 1 lorsque n tend vers l`infini Ainsi, votre limite est L = |. (X-1) (1) | = | x-1 |.
Notez et résoudre l`inégalité de test du rapport résultant. La règle du test du rapport est que la limite de la valeur absolue du rapport des termes adjacents doit être inférieur à un, ou L lt; 1. Dans le cas de votre exemple, vous avez L = | x-1 | lt; 1. Résoudre l`inégalité vous donne -1 lt; x - 1 lt; 1 ou 0 lt; X lt; 2. Vous savez maintenant que votre intervalle de convergence est compris entre 0 et 2, et peut ou peut ne pas inclure les valeurs 0, 2 ou les deux. Néanmoins, vous avez autant d`informations que vous avez besoin pour trouver le rayon de convergence.
Calculer la longueur de l`intervalle et de diviser par deux. Pour votre exemple, vous avez R = (0 + 2) / 2 = 1.
